Skip to content
Menu
Wiedźmy uczą!
  • Strona główna
  • O nas
  • O blogu
  • Autorki
    • Irena Juńczyk
    • Aleksandra Opaska
    • Věra Pejčochová
    • Krystyna Raczkowska-Tomczak
    • Zofia Godlewska
  • Przedmioty
    • Chemia
    • Fizyka
    • Matematyka
    • Biologia
  • Kontakt
Wiedźmy uczą!

W cieniu z matematyką

Opublikowano 2021-02-092022-01-23

Czy obserwacja cieni może mieć coś wspólnego z matematyką? Czy może stanowić podstawę do obliczeń, rysunków, kształtowania umiejętności matematycznych?

Rozważania na ten temat można zacząć tradycyjnie: „już Tales i Pitagoras … „  lub  „ już małe dzieci …” . Zacznijmy od dzieci. Każdy bowiem, nawet małe dzieci, w słoneczny dzień może zaobserwować cienie drzew, budynków, czy też cienie swoje i swoich kolegów. Cień może być tematem zajęć w szkole lub  w terenie, a zrozumienie własności cieni prowadzi do wielu dziedzin matematyki i jej zastosowań.

Jeśli źródło światła jest bardzo odległe, tak jak w przypadku  Ziemi i Słońca, to promienie słoneczne uznajemy za równoległe.  Obserwowane cienie to rzuty równoległe przestrzennych obiektów na powierzchni ziemi. O własnościach rzutowania pisze Zdzisław Pogoda w siedemnastym tomiku serii „Miniatury  matematyczne” p.t. „Zabawy z cieniem”. Tomik przeznaczony jest dla uczniów szkół ponadgimnazjalnych, a jego lektura wymaga pewnego zasobu wiedzy matematycznej. Dobrze jest jednak kształcić pewne intuicje i wrażliwość matematyczną od najmłodszych lat.

Japońscy twórcy Megumi Kajiwara i Tathuhiko Nijima  stworzyli dla najmłodszych interaktywną historię opowiadaną cieniem. Między stronami książki umieszczone są wycinanki. Oświetlając je pod różnym kątem, otrzymujemy ruchome obrazy, które „opowiadają” indywidualne historie.

Efekty można obejrzeć np. na stronie :http://www.lustrobiblioteki.pl/search?q=motion+silhouette.

Źródło:http://4.bp.blogspot.com/wsuJMENYbzo/U8lO1DA5TTI/AAAAAAAAJhU/Rt0FsvitYa4/s1600/
tumblr_mbplmffRxo1ribmt4o1_1280.jpg

„Lektura” tej niezwykłej pozycji rozbudza wyobraźnię  i zmysł obserwacji najmłodszych i może być inspiracją do własnych zajęć z cieniem. Jest tu też okazja do kształcenia matematycznego:  pytania o to czy cienie wiernie oddają kształt przedmiotów,  czy zachowują wielkość, prowadzą do intuicyjnego rozumienia  ważnych własności rzutowania. Łatwo jest bowiem zauważyć, że cienie nie oddają wiernie kształtu (rzutowanie nie zachowuje miary kątów) i nie zachowują wielkości (rzutowanie nie zachowuje długości odcinków, ale zachowuje ich proporcje).

„Cieniasy”, wbrew pozorom, nie są przeznaczone dla tych, którzy cienko sobie radzą z matematyką.  Nazwa tej pomocy nie pochodzi bowiem od przymiotnika „cienki” , ale właśnie od cienia. Jest to zestaw manipulacyjny ilustrujący rzutowanie prostopadłe.


Źródło: http://www.matematyka.wroc.pl/programykomputerowe/cieniasy

Modele walca, graniastosłupa i prostopadłościanu to elementy służące do budowania różnych konstrukcji, których cienie pokazane są na stronach dołączonej do zestawu książeczki. Dysponując taką pomocą, można poprzez zabawę kształtować wyobraźnię przestrzenną uczniów. Można oczywiście budować własne zestawy, np. z modeli brył czy  przedmiotów codziennego użytku.

Ćwiczenie: Wybierz potrzebne ci przedmioty i zbuduj konstrukcję, której cienie na prostopadłych kartkach wyglądają jak na rysunkach:

Uczniowie mogą łączyć wybrane przedmioty np. za pomocą plasteliny lub masy mocującej.

Podczas zajęć w terenie, obserwacje cieni, jakie rzucają kije o równych lub różnych długościach, umożliwiają zauważenie ważnych prawidłowości, które pozwolą lepiej zrozumieć własności rzutu równoległego i ułatwią sporządzanie rysunków brył:

Łatwo jest na przykład zauważyć, że:
Równe i równoległe kije rzucają równe i równoległe cienie (rzutem odcinków równych i równoległych są odcinki równe i równoległe).
Cień dłuższego kija jest zawsze dłuższy od cienia kija krótszego, cień kija dłuższego np. dwa razy jest dwa razy dłuższy od cienia  kija krótszego (rzut równoległy zachowuje proporcje odcinków).
Analiza rysunków sporządzonych na podstawie obserwacji może stanowić punkt wyjścia do wprowadzenia definicji funkcji trygonometrycznych kąta ostrego:

W danej chwili kąt padania promieni słonecznych α jest taki sam, a więc trójkąty ACB i KLM są podobne. Stosunek odpowiednich boków w trójkątach podobnych jest taki sam, a więc:

Iloraz ten to tangens kąta α. Wprowadzając następne ilorazy definiujemy pozostałe funkcje trygonometryczne kąta ostrego α.

Idąc śladem cienia, matematyczne rozważania można również rozpocząć od  starożytnych Greków. Uważa się, że to Tales był prekursorem naukowego badania rzeczywistości w oparciu o obserwacje natury i rozum. Talesowi właśnie przypisuje się wykorzystanie cienia do naukowych rozważań. Uznawany jest on za pierwszego matematyka, chociaż matematyką zajmował się przede wszystkim w celach praktycznych. Diogenes Laertios twierdził, że Tales potrafił określić wysokości egipskich piramid  i obliczyć odległość od brzegu statków na morzu. To właśnie obserwacje cienia pozwoliły mu na wyznaczenie wysokości piramidy.

Tales wiedział, że Słońce podobnie traktuje wszystkie rzeczy, zarówno człowieka, jak i potężną piramidę, zatem zauważał: stosunek pomiędzy mną a moim cieniem jest dokładnie taki sam jak pomiędzy piramidą a jej cieniem. Stąd wniosek: w chwili, w której mój cień będzie równy mojej wysokości, cień piramidy będzie równy jej wysokości!

Do rozwiązania pozostaje jeszcze jeden problem: nie widzimy, a tym samym nie możemy zmierzyć cienia całej wysokości piramidy, jego część chowa się w podstawie piramidy.  Z drugiej strony w chwili, gdy długość cienia będzie równa długości przedmiotu, długość „ukrytej” części cienia będzie równa połowie krawędzi podstawy piramidy!

Ćwiczenie: Starożytni Grecy nie używali ujednoliconej jednostki długości i zwykle mierzyli rzeczy większe za pomocą mniejszych. Tales w pomiarach często używał siebie jako „mniejszą rzecz”, czyli jednostkę . Ponoć Tales ustalił wysokość piramidy Cheopsa na 85 „talesów” . Wysokość piramidy po wybudowaniu to 146,59 m  (współcześnie w wyniku erozji i utraty wieńczącego szczyt piramidionu liczy 138,75 m). Oblicz wzrost Talesa.

Wyznaczenie wysokości  drzewa, jest łatwiejsze bo możemy zmierzyć  długości całości cienia. Po co nam wiedza na ten temat?  Na przykład dla zaspokojenia ciekawości albo do … rozwiązania zagadki kryminalnej. Nawet detektyw nad detektywami Sherlock Holmes stosował z powodzeniem sposób Talesa. Wykorzystał przy tym wskazówki z tajemniczego dokumentu rodu Musgraveów:

Oczywiście Sherlock Holmes znał i wykorzystał sposób Talesa i mógł pochwalić się Watsonowi w jaki sposób rozwiązał zagadkę.

Powyższy fragment opowiadania A. C. Doyle’a może stanowić wstęp do zadania o wyznaczaniu wysokości drzewa.

Zadanie: Oblicz wysokość wybranego drzewa.

INFORMACJE: W wybranym miejscu, o określonej porze długość przedmiotu i długość jego cienia, to wielkości wprost proporcjonalne.  Znaczy to, że drzewo (odcinek A2C2) jest tyle samo razy dłuższe /krótsze od swojego cienia A2B , ile razy inny obiekt (na przykład ty , a na rysunku odcinek A1C1) jest dłuższy/ krótszy od swojego cienia A1B.

INSTRUKCJA (dzieci młodsze):

  1. Zmierz długość swojego cienia.
    Długość mojego cienia wynosi…
  2. Zmierz długość cienia wybranego drzewa.
    Długość cienia drzewa wynosi …
  3. Mój wzrost wynosi …
  4. Oblicz ile razy jesteś większy /mniejszy od długości twojego cienia:
    mój wzrost : długość mojego cienia = [ ] 
  5. Drzewo jest również tyle samo razy większe/mniejsze od swojego cienia, ile razy ty jesteś większy/mniejszy od swojego cienia. Oblicz więc jego wysokość:
    wysokość drzewa = długość cienia  ∙  [ ]
  1. Zmierz długość swojego cienia.
    Długość mojego cienia wynosi…
  2. Zmierz długość cienia wybranego drzewa.
    Długość cienia drzewa wynosi …
  3. Mój wzrost wynosi …
  4. Oblicz ile razy jesteś większy /mniejszy od długości twojego cienia:
    mój wzrost : długość mojego cienia = [ ] 
  5. Drzewo jest również tyle samo razy większe/mniejsze od swojego cienia, ile razy ty jesteś większy/mniejszy od swojego cienia. Oblicz więc jego wysokość:
    wysokość drzewa = długość cienia  ∙  [ ]

INSTRUKCJA (dzieci starsze): Zmierz długość swojego cienia. Długość mojego cienia wynosi …

Zmierz długość cienia wybranego drzewa.
Długość cienia drzewa wynosi …
Mój wzrost wynosi …
Ułóż odpowiednią proporcję. Proporcja: …
Rozwiąż równanie zapisane w postaci proporcji i odpowiedz na pytanie jak wysokie jest drzewo?
Długość cienia drzewa wynosi …

Druga część zajęć to „Tajemnice cienia” Krystyny Raczkowskiej – Tomczak

Bibliografia:
[1]. Anne Rooney, Fascynująca matematyka, Bellona, Warszawa 2011
[2]. Zdzisław Pogoda, Zabawy z cieniem, Miniatury matematyczne , Aksjomat, Toruń 2005
[3]. Artur Conan Doyle, Księga wszystkich dokonań Sherlocka Holmesa, Re, Warszawa 2011
[4]. http://www.lustrobiblioteki.pl
[5]. http://www.matematyka.wroc.pl/
[6]. http://supermatma.w.interia.pl/menu/tales1.html

Fotografia wyróżniająca: https://pixabay.com/pl/photos/łąka-góry-krajobraz-natura-2774061/

Autor: Aleksandra Opaska

Publikowane: Opaska Aleksandra; Biuletyn Polskiego Stowarzyszenia Nauczycieli Przedmiotów Przyrodniczych, „W cieniu z matematyką”, Nauczanie Przedmiotów Przyrodniczych, 2/2015, Toruń 2015, s. 21-20

Ostatnie wpisy

  • Bond i fizyka…
  • Bond i matematyka
  • Bond i chemia
  • Bond i biologia
  • Świąteczne zabawy nie tylko z fizyką. Vánoční tvoření nejen s fyzikou.

Kategorie

Archiwum wpisów

  • grudzień 2021
  • listopad 2021
  • wrzesień 2021
  • marzec 2021
  • luty 2021
  • styczeń 2021

Meta

  • Zaloguj się
  • Kanał wpisów
  • Kanał komentarzy
  • WordPress.org
©2025 Wiedźmy uczą! | Powered by SuperbThemes & WordPress
We use cookies on our website to give you the most relevant experience by remembering your preferences and repeat visits. By clicking “Accept All”, you consent to the use of ALL the cookies. However, you may visit "Cookie Settings" to provide a controlled consent.
Cookie SettingsAccept All
Manage consent

Privacy Overview

This website uses cookies to improve your experience while you navigate through the website. Out of these, the cookies that are categorized as necessary are stored on your browser as they are essential for the working of basic functionalities of the website. We also use third-party cookies that help us analyze and understand how you use this website. These cookies will be stored in your browser only with your consent. You also have the option to opt-out of these cookies. But opting out of some of these cookies may affect your browsing experience.
Necessary
Always Enabled
Necessary cookies are absolutely essential for the website to function properly. These cookies ensure basic functionalities and security features of the website, anonymously.
CookieDurationDescription
cookielawinfo-checkbox-analytics11 monthsThis cookie is set by GDPR Cookie Consent plugin. The cookie is used to store the user consent for the cookies in the category "Analytics".
cookielawinfo-checkbox-functional11 monthsThe cookie is set by GDPR cookie consent to record the user consent for the cookies in the category "Functional".
cookielawinfo-checkbox-necessary11 monthsThis cookie is set by GDPR Cookie Consent plugin. The cookies is used to store the user consent for the cookies in the category "Necessary".
cookielawinfo-checkbox-others11 monthsThis cookie is set by GDPR Cookie Consent plugin. The cookie is used to store the user consent for the cookies in the category "Other.
cookielawinfo-checkbox-performance11 monthsThis cookie is set by GDPR Cookie Consent plugin. The cookie is used to store the user consent for the cookies in the category "Performance".
viewed_cookie_policy11 monthsThe cookie is set by the GDPR Cookie Consent plugin and is used to store whether or not user has consented to the use of cookies. It does not store any personal data.
Functional
Functional cookies help to perform certain functionalities like sharing the content of the website on social media platforms, collect feedbacks, and other third-party features.
Performance
Performance cookies are used to understand and analyze the key performance indexes of the website which helps in delivering a better user experience for the visitors.
Analytics
Analytical cookies are used to understand how visitors interact with the website. These cookies help provide information on metrics the number of visitors, bounce rate, traffic source, etc.
Advertisement
Advertisement cookies are used to provide visitors with relevant ads and marketing campaigns. These cookies track visitors across websites and collect information to provide customized ads.
Others
Other uncategorized cookies are those that are being analyzed and have not been classified into a category as yet.
SAVE & ACCEPT